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2018山东专升本高等数学考试大纲

来源:山东省教育招生考试院 2017-12-15 22:27:18

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附件5
山东省2018年普通高等教育专升本高等数学(公共课)考试要求

一、总体要求
考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论;学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明,准确地计算的能力;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
二、内容范围和要求
(一)函数、极限和连续
1.函数
(1)理解函数的概念:函数的定义,函数的表示法,分段函数。
(2)理解和掌握函数的简单性质:单调性,奇偶性,有界性,周期性。
(3)了解反函数:反函数的定义,反函数的图象。
(4)掌握函数的四则运算与复合运算。
(5)理解和掌握基本初等函数:幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数。
(6)了解初等函数的概念。
2.极限
(1)理解数列极限的概念:数列,数列极限的定义,能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解数列极限的性质:唯一性,有界性,四则运算定理,夹逼定理,单调有界数列,极限存在定理,掌握极限的四则运算法则。
(3)理解函数极限的概念:函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,x趋于无穷(x→∞,x→+∞,x→-∞)时函数的极限。
(4)掌握函数极限的定理:唯一性定理,夹逼定理,四则运算定理。
(5)理解无穷小量和无穷大量:无穷小量与无穷大量的定义,无穷小量与无穷大量的关系,无穷小量与无穷大量的性质,两个无穷小量阶的比较。
(6)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
3.连续
(1)理解函数连续的概念:函数在一点连续的定义,左连续和右连续,函数在一点连续的充分必要条件,函数的间断点及其分类。
(2)掌握函数在一点处连续的性质:连续函数的四则运算,复合函数的连续性,反函数的连续性,会求函数的间断点及确定其类型。
(3)掌握闭区间上连续函数的性质:有界性定理,最大值和最小值定理,介值定理(包括零点定理),会运用介值定理推证一些简单命题。
(4)理解初等函数在其定义区间上连续,并会利用连续性求极限。
(二)一元函数微分学
1.导数与微分
(1)理解导数的概念及其几何意义,了解可导性与连续性的关系,会用定义求函数在一点处的导数。
(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
(4)掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法,会求分段函数的导数。
(5)理解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数。
(6)理解函数的微分概念,掌握微分法则,了解可微与可导的关系,会求函数的一阶微分。
2.中值定理及导数的应用
(1)了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。
(2)熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“∞/∞”、“0•∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的极限方法。
(3)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法,会利用函数的增减性证明简单的不等式。
(4)理解函数极值的概念,掌握求函数的极值和最大(小)值的方法,并且会解简单的应用问题。
(5)会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点。
(6)会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。
(三)一元函数积分学
1.不定积分
(1)理解原函数与不定积分概念及其关系,掌握不定积分性质,了解原函数存在定理。
(2)熟练掌握不定积分的基本公式。
(3)熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。
(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。
2.定积分
(1)理解定积分的概念与几何意义,了解可积的条件。
(2)掌握定积分的基本性质。
(3)理解变上限的定积分是变上限的函数,掌握变上限定积分求导数的方法。
(4)掌握牛顿—莱布尼茨公式。
(5)掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
(6)理解无穷区间广义积分的概念,掌握其计算方法。
(7)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积。
(四)向量代数与空间解析几何
1.向量代数
(1)理解向量的概念,掌握向量的坐标表示法,会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。
(2)掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。
(3)掌握二向量平行、垂直的条件。
2.平面与直线
(1)会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。
(2)会求点到平面的距离。
(3)了解直线的一般式方程,会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。
(4)会判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上)。
(五)多元函数微积分
1.多元函数微分学
(1)了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念(对计算不作要求)。会求二元函数的定义域。
(2)理解偏导数、全微分概念,知道全微分存在的必要条件与充分条件。
(3)掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。
(4)掌握复合函数一阶偏导数的求法。
(5)会求二元函数的全微分。
(6)掌握由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=z(x,y)的一阶偏导数的计算方法。
(7)会求二元函数的无条件极值。
2.二重积分
(1)理解二重积分的概念、性质及其几何意义。
(2)掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。
(六)无穷级数
1.数项级数
(1)理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件,了解级数的基本性质。
(2)掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比较判别法。
(3)掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性。
(4)了解级数绝对收敛与条件收敛的概念,会使用莱布尼茨判别法。
2.幂级数
(1)了解幂级数的概念,收敛半径,收敛区间。
(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项积分)。
(3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的方法。
(七)常微分方程
1.一阶微分方程
(1)理解微分方程的定义,理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。
(2)掌握可分离变量方程的解法。
(3)掌握一阶线性方程的解法。
2.二阶线性微分方程
(1)了解二阶线性微分方程解的结构。
(2)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。


 



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